Hoe een sinus te vinden als de cosinus bekend is?
Wanneer een probleem wordt aangegeven waarin een bekend isgoniometrische functie, en het is vereist om een andere trigonometrische functie te vinden, het is niet moeilijk om het op te lossen. Maar het is erg belangrijk om rekening te houden met de kleine subtiliteiten in de oplossing. Overweeg de gedetailleerde oplossingen, gezien de nuances. Er zijn verschillende varianten van problemen waarbij het nodig is om een sinus te vinden als de cosinus bekend is.
Variant 1. Er wordt een rechthoekige driehoek gegeven. De cosinus van de hoek van deze driehoek (niet de juiste hoek) is bekend. Nastya is een sinus.
oplossing:
Roep de elementaire trigonometrische identiteit op: zonde2α + cos 2α = 1.
Vandaar zonde2α = 1 - cos2α.
sin α = ± √ (1- cos2α)
In een rechthoekige driehoek kan de waarde van de hoek (niet direct) in het bereik van 1 liggen0 tot 890. De sinus van een dergelijke hoek is altijd positief, daarom zullen we vóór de wortel een voordeel hebben.
Variant 2. De cosinus van een bepaalde hoek is bekend. Het is ook bekend in welk kwart van de trigonometrische cirkel de hoek thuishoort.
oplossing:
zonde2α + cos 2α = 1.
zonde2α = 1 - cos2α.
sin α = ± √ (1- cos2α)
Het is bekend dat de trigonometrische functie sinus iskan waarden van -1 tot +1 aannemen. Daarom moeten we bij het uitpakken van de root hier rekening mee houden. Afhankelijk van welk kwart tot de hoek behoort, plaats je een teken voor de wortel "+" of "-".
Wat zijn de kwartalen:
- I (eerste) - α vanaf 00 tot 900;
- II (tweede) - α vanaf 900 tot 1800;
- III (derde) - α vanaf 1800 tot 2700;
- IV (vierde) - α vanaf 2700 tot 3600.
Als de hoek tot het eerste of tweede kwart behoort, dan zetten we de wortel niet "-" voor het teken, omdat in dit geval zonde α altijd positief is.
Als de hoek tot het derde of vierde kwart behoort, dan plaatsen we vóór het wortelteken "-", omdat in dit geval zonde α altijd negatief is.
Een voorbeeld. Gezien de cosinus, vind de sinus. cos α = v3 / 2. Hoek in het vierde kwartaal.
oplossing:
Dus, hoe de sinus te vinden, wetende dat de cosinus:
sin α = ± v (1- cos2α)
Omdat door de aanname van het probleem de hoek tot het vierde kwart van de trigonometrische cirkel behoort, plaatsen we het teken "-" voor de wortel.
sin α = -v (1-3 / 4)
sin α = - 1/2.
Een voorbeeld. In een rechthoekige driehoek is de cosinus van één hoek 1/2. Zoek de sinus van deze hoek.
Oplossing: zonde2α + cos 2α = 1.
zonde2α = 1 - cos2α.
Omdat we op zoek zijn naar de hoek van een rechthoekige driehoek, staat het "+" teken voor de wortel.
sin α = v (1- cos2α)
sin α = v (1-1 / 4)
sin α = v3 / 2.
